Teorija

6. Tjedan

• Funkcije, Limes funkcije

---

Uvod

Funkcije su pravilo koje svakom elementu iz jednog skupa pridružuje točno jedan element iz drugog skupa. U ovom dijelu ćemo se fokusirati na funkcije realne varijable, koje preslikavaju realne brojeve u realne brojeve. Svaki koncept ćemo ilustrirati korak po korak riješenim primjerima.

---

1. Načini zadavanja funkcija

1. Eksplicitno zadavanje

Primjer:
Zadana je funkcija $f(x) = x^2 + 3x + 2$. Izračunajte vrijednost funkcije za $x = 2$.

Rješenje:
$f(2) = (2)^2 + 3 \cdot (2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12$.

2. Implicitno zadavanje

Primjer:
Zadana je implicitna relacija $x^2 + y^2 = 1$. Izrazite $y$ kao funkciju od $x$.

Rješenje:
$y^2 = 1 - x^2 \implies y = \sqrt{1 - x^2}$ ili $y = -\sqrt{1 - x^2}$.

3. Grafičko zadavanje

Primjer:
Nacrtajte graf funkcije $f(x) = x^2$.

Rješenje:
Graf je parabola koja prolazi kroz točke $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.

4. Tablično zadavanje

Primjer:
Zadana je tablica vrijednosti funkcije:

$x$	$f(x)$
1	3
2	5
3	7

Pronađite vrijednost $f(2)$.

Rješenje:
Iz tablice vidimo da je $f(2) = 5$.

5. Rekurzivno zadavanje

Primjer:
Zadana je rekurzivna formula $a_{n+1} = 2a_n + 1$ s početnim uvjetom $a_1 = 1$. Izračunajte $a_3$.

Rješenje:
$a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$.
$a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$.

---

2. Klasifikacija funkcija

1. Polinomske funkcije

Primjer:
Zadana je funkcija $f(x) = 2x^3 - 4x^2 + x - 5$. Izračunajte $f(1)$.

Rješenje:
$f(1) = 2(1)^3 - 4(1)^2 + (1) - 5 = 2 - 4 + 1 - 5 = -6$.

2. Racionalne funkcije

Primjer:
Zadana je funkcija $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. Pojednostavite funkciju.

Rješenje:
$f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ (za $x \neq 1$).

3. Eksponencijalne funkcije

Primjer:
Zadana je funkcija $f(x) = 2^x$. Izračunajte $f(3)$.

Rješenje:
$f(3) = 2^3 = 8$.

4. Logaritamske funkcije

Primjer:
Zadana je funkcija $f(x) = \log_2(x)$. Izračunajte $f(8)$.

Rješenje:
$f(8) = \log_2(8) = 3$ (jer je $2^3 = 8$).

5. Trigonometrijske funkcije

Primjer:
Zadana je funkcija $f(x) = \sin(x)$. Izračunajte $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

Rješenje:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

---

3. Limes funkcije

1. Definicija limesa

Primjer:
Izračunajte $\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x + 2)$.

Rješenje:
$\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x + 2) = (2)^2 + 3 \cdot (2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12$.

2. Jednostrani limesi

Primjer:
Izračunajte $\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x - 1}$.

Rješenje:
Kada se $x$ približava 1 s desne strane, $x - 1$ je malo pozitivan broj, pa $\frac{1}{x - 1}$ teži u $+\infty$.
$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x - 1} = +\infty$.

3. Pravilo l’Hospitala

Primjer:
Izračunajte $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.

Rješenje:
Koristeći pravilo l’Hospitala:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1$.

Vježbe

zadaci